Session p. 136

LegendreKernel[x_, 
          k_] := (1/π) (((x + (Sqrt[(x^2) - 1]) Cos[θ]))^k);
Integrate[
      Sum[Binomial[2  k, k] 
          LegendreKernel[((((Subscript[p, EW])^2) + ((Subscript[p, NS])^2))/(((Subscript[p, EW])^2) - ((Subscript[p, NS])^2))), 
            k] (((((Subscript[p, EW])^2) - ((Subscript[p, NS])^2)))^k), {k, 0, ∞}], {θ, 
        0, π}, 
      Assumptions -> {0 ≤  (Subscript[p, EW]) ≤  (Subscript[p, NS]), 
          2 ((Subscript[p, EW]) + (Subscript[p, NS])) < 1}]