Lektüreseminar (Hauptseminar): Regularität und Approximierbarkeit elektronischer Wellenfunktionen

Prof. Dr. Folkmar Bornemann, Prof. Dr. Caroline Lasser (Wintersemester 2010/11)

Teilnehmerzahl: 6 (min.) - 20 (max.)

Termin: donnerstags 14:00-15:30 Uhr im Seminarraum

Termine

Datum	Diskussionsleitung	Thema
21.10.	F. Bornemann & C. Lasser	Einleitung und Überblick (Kapitel 1)
28.10.	J. Keller	Einleitung und Fourier-Analysis (Kapitel 1, Kapitel 2.1)
04.11.	W. Gaim (F. Bornemann & C. Lasser)	Fourier-Analysis und Grundlagen der Quantenmechanik (Kapitel 2.2-2.3, Kapitel 3.1-3.3)
11.11.	M. Block	Grundlagen der Quantenmechanik (Kapitel 3.4-3.6)
18.11.	T. Kud	QM-Grundlagen und elektronische Schrödinger-Gleichung (Kapitel 3.3, 3.5, 3.6, 4.1)
25.11.	A. Wagner	El. Schrödinger-Gleichung, Spektrum und exponentieller Abfall (Kapitel 4.1, 4.2, 5.1, 5.2)
09.12.	V. Sawadski	Spektrum und exponentieller Abfall (Kapitel 5.3-5.5)
16.12.	L. Geupel	Existenz und Abfall gemischter Ableitungen (Kapitel 6.1-6.2)
13.01.		Existenz und Abfall gemischter Ableitungen (Kapitel 6.3-6.4)
20.01.		Existenz und Abfall gemischter Ableitungen (Kapitel 6.5-6.7)
27.01.		Entwicklung nach Eigenfunktionen (Kapitel 7)
03.02.		Konvergenzraten und Komplexitätsschranken (Kapitel 8.1-8.2)
10.02.		Konvergenzraten und Komplexitätsschranken (Kapitel 8.3-8.5)

Achtung: Dieser Zeitplan ist vorläufig und wird laufend angepasst.

Inhalt

"The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much too complicated to be soluble. It therefore becomes desirable that approximate practical methods of applying quantum mechanics should be developed, which can lead to an explanation of the main features of complex atomic systems without too much computation." (P. Dirac, Quantum mechanics of many electron systems, Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, vol. 123, p. 714, 1929)

Die Approximation hochdimensionaler Funktionen, wie sie die Lösungen von elektronischen Schrödinger-Gleichungen sind, ist auch 80 Jahre nach dieser vielzitierten Wertung von P. Dirac eines der herausfordernden Themen der modernen angewandten Mathematik. Harry Yserentant  (TU Berlin) ist es in den letzten Jahren gelungen nachzuweisen, dass die Wellenfunktionen, welche diese Gleichungen lösen, eine besondere Form von Regularität besitzen, die sie einer Klasse moderner hochdimensionaler Approximationstechniken zugänglich machen, den sogenannten Dünngitter-Approximationen. Um diese Ansätze zu verstehen, benötigt man nur das Grundlagenwissen der ersten beiden Studienjahre (inklusive Lebesgue-Integration) sowie einige Standardfakten über Banach- und Hilberträume (Vervollständigung, Orthogonalität, Projektionssatz, Satz von Lax-Milgram, schwache Konvergenz), die sich ggf. schnell nachholen lassen. Fortgeschrittene Kenntnisse über partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis oder Quantenmechanik sind jedoch nicht erforderlich.

Ziele

Das Seminar ist ein gemeinsamer Lektüre- und Diskussionskurs des im Mai 2010 erschienen, außerordentlich lesbaren Buchs "Regularity and Approximability of Electronic Wave Functions" von Harry Yserentant. Sie sollen im Seminar den eigenständigen Umgang mit wissenschaftlicher mathematischer Literatur erlernen und einüben. In der gemeinsamen wissenschaftlichen Diskussion der neuen Sachverhalte, Begriffe, Ideen und Argumentationslinien sollen Unklarheiten bereinigt, Ihr mathematisches Verständnis vertieft und eine professionelle Diskussionskultur eingeübt werden.

Ablauf

Pro Seminarsitzung wird eines der neun Kapitel des Buchs eingehend von allen diskutiert. Eine gewisse Selbstdisziplin, stets gut vorbereitet zu sein und durchgehend aktiv zu bleiben, ist hierzu zwingend erforderlich: Dazu gehört (a) wirklich jedes Kapitel auch eingehend studiert zu haben und (b) Fragen (jeder Art) schon vorab (hand)schriftlich zu skizzieren. Die Fragesammlungen sind unmittelbar vor jeder Sitzung an uns abzugeben und dienen dazu, eine lebendige Diskussion in Gang zu setzen. Jeder Seminarteilnehmer übernimmt für (wenigstens) eine Sitzung die Diskussionsleitung.

Literatur

Harry Yserentant, Regularity and Approximability of Electronic Wave Functions, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 2000, Springer Berlin/Heidelberg, 2010. (Aus dem Rechner-Netz der TUM haben Sie Zugriff auf das eBook .)