Kapitel 10

Treffe die Enden

Folkmar Bornemann

Problem 10

10.1 Auf den ersten Blick: Warum nicht Monte-Carlo? · 10.2 Formulieren wir es deterministisch · 10.3 Numerische Lösung · 10.4 Analytische Lösung I: Trennung der Variablen · 10.5 Analytische Lösung II: Konforme Abbildungen · 10.6 Freude an elliptischen Funktionen · 10.7 Finale à la Ramanujan: Singuläre Moduln · 10.8 Schwierigere Probleme

Unerwarteterweise gibt es eine elementare geschlossene Lösung:    .
Die ersten 10002 Ziffern.

Programmtext

• C
   
  • Irrfahrt auf Sphären (für Tabelle 10.1)
     
• Maple
   
  • Sitzung: S. 271
     
• Mathematica
   
  • Sitzungen: S. 272, 273, 276, 280/281
  • Tabelle: 10.4 (Überprüfung)
     
• MATLAB
   
  • Sitzungen: S. 259/260, 262, 280
  • Irrfahrt auf Sphären (alternativ zum C-Programm)
  • Lösung mit der Schwarz-Christoffel Toolbox
  • Tabellen: 10.2, 10.3
  • Abbildungen: 10.1, 10.2, 10.6 (links), 10.6 (rechts)
  • Hilfsbefehle: richardson, poisson, cot_formula

Film

Ein Beispielpfad (Abbildung 10.1 in Aktion)

Links

• Toby Driscoll: Schwarz-Christoffel Toolbox für MATLAB.

• The Modular Elliptic Function λ. Aus functions.wolfram.com―A Wolfram Web Resource.
   
• Eric W. Weisstein. Elliptic Lambda Function. Aus MathWorld―A Wolfram Web Resource.
   
• Mark B. Villarino. Ramanujan's Most Singular Modulus. arXiv:math.HO/0308028. (Eine detaillierte, elementar und in sich geschlossene Herleitung des berühmten Ramanujan'schen Ausdrucks für  k₂₁₀.)

Historische Quellen

• Augustin-Louis Cauchy: Sur quelques propositions fondamentales du calcul des résidus, Exerc. Math. 2 (1827), 245–276; Oevres (2)7, 291–323 (1889). Formeln (86/87) und (110).
   
• Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Bornträger, Regiomontum, 1829. S. 108.
   
• Heinrich Weber: Elliptische Functionen und algebraische Zahlen, Vieweg, Braunschweig, 1891. S. 149 und 502.

Supplemente

• Fußnote 7, S. 269: Joseph Herschs geometrische Herleitung von p = 1/6 für ein √3 x 1-Rechteck (unter Verwendung konformer Verpflanzungen)
   
• Begegnungen eines Numerikers — Von Monte Carlo zu Cauchy, Jacobi, Weber und Ramanujan. Vortrag über Kapitel 10.

Dies ist eine Webseite des Buchs: F. Bornemann, D. Laurie, S. Wagon, J. Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme. Springer-Verlag, 2006.

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