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Spektralmethoden - Gliederung und Planung

1. Woche (14./17. April 08)

Kapitel 1 Differentiationsmatrizen

Programme: p1.m,p2.m

  • Vererbung der Eigenschaften der Differentiation auf Gitterfunktionen: schiefsymmetrische zirkulante Toeplitzmatrizen
  • globale vs. lokale Interpolation
  • Finite-Differenzen-Methode
  • spektrale Kollokation
  • exponentielle Konvergenz

Kapitel 2 Unbeschränkte Gitter

  • Fouriertransformation
  • Fourier-Dualität von "diskret" und "beschränkt"
  • Aliasing
  • Fourierreihen (semi-diskrete Fouriertransformation)
  • bandbegrenzte Interpolation

2. Woche (21./24. April 08)

  • Shannon'sche Formel
  • Differentiationsmatrizen (Laurent-Operatoren) für erste und zweite Ableitung

Kapitel 3 "Perodische" Gitter

Programme: p3.m. p4.m, p5.m, p6.m

  • Diskrete Fouriertransformation
  • Symmetrisierung (Trapezsumme)
  • Interpolation durch trigonometrische Polynome
  • spektrale Differentiationsmatrix als zirkulante Matrix, bzw. über FFT

3. Woche (28. April 08)

  • Anwendung auf Advektionsgleichung mit x-abhängiger Geschwindigkeit: keine numerische Dispersion

Kapitel 4 Glattheit und spektrale Genauigkeit

  • Fehler der bandbegrenzten Interpolation = Aliasing-Fehler
  • Aliasing-Fehler aus Abklingverhalten der Fouriertransformierten
  • Differenzierbarkeitsordnung von u => Ordnung des Abklingverhaltens der Fouriertransformierten

4. Woche (5. Mai 08)

Kapitel 5 Polynominterpolation und geclusterte Gitter

Programme: RungePhenomenon.m, Leminskaten.nb

  • Theorie der Konvergenzlemniskaten
  • asymptotische Knotendichte
  • Beispiele: äquidistante Knoten, Tschebyscheff-Knoten und Taylorpolynome (ein konfluenter Knoten)

5. Woche (15. Mai 08)

Kapitel 6 Spektrale Differentiation auf geclusterten Gittern

Programme: p11.m, p12.m

  • Baryzentrische Form der Polynominterpolation
  • Formel von Salzer für Tschebyscheff-Knoten
  • spektrale Differentiationsmatrix

6. Woche (29. Mai 08)

Kapitel 6 Anwendung auf Randwertprobleme

Programme: p13.m, p13chebop.m

  • Einbeziehung der Randwerte durch Zeilenveränderung
  • automatische Generierung der Operatormatrizen im Chebop-System

7. Woche (2./5. Juni 08)

Programme: p14.m, p14Newton.m, p15.m

  • Nichtlineare Randwertprobleme
  • Fixpunktiteration, Berechnung der Kontraktionsrate über Eigenwertproblem
  • Newton-Iteration
  • Eigenwertprobleme (Abhängigkeit der Genauigkeit von "Punkten pro Welle" (ppw))