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Funktionentheorie am Computer erkunden

Riemannsche Flächen

Vorbereitungen

\( \def\Log{\mathop{\rm Log}\limits} \def\Arg{\mathop{\rm Arg}\limits} \)

Diese Einheit dreht sich um einen experimentellen Zugang zu Riemannschen Flächen. Das Augenmerk wird auf die Vermittlung einer Intuition zu Entstehung und Umgang mit Riemannschen Flächen gelegt. Auf eine präzise mathematische Beschreibung wird verzichtet.

Wie wir bereits festgestellt haben, existieren Funktionen, die lediglich auf Schlitzgebieten definiert sind (Wurzel, Logarithmus, ...). Dies war auf die Mehrdeutigkeit der Argument-Funktion zurückzuführen, die durch das eine spezifische Wahl ihrerselbst zu Unstetigkeiten in der Funktion führt. Wollen wir eine eindeutige holomorphe Fortsetzung der Funktion, die diese Probleme behebt, so stellen die Riemannschen Flächen eine Lösungsmethode dar.

Dieses Konzept verdeutlichen wir an den folgenden Beispielen.

Beispiel 1 : Quadratwurzel

Betrachten wir die Quadratwurzel $$ f(z) = \sqrt{z} $$ die entlang der negativen reellen Achse geschlitzt ist. Wir stellen fest, dass $$ r^{1/2}\exp (i \varphi/2) = f(r\exp (i \varphi)) = f(r\exp (i (\varphi +2\pi))) = r^{1/2}\exp (i (\varphi /2 +\pi)) = r^{1/2} \exp(i \varphi/2) \exp(i \pi) $$ Dies ist die angesprochene Mehrdeutigkeit der Wurzel. Wir erhalten somit zwei Phasenportraits der Quadratwurzel entsprechend der Wahl des Arguments der komplexen Zahlen. Diese Zweideutigkeit identifizieren wir durch die Phasenportraits in zwei Kopien der komplexen Ebene, die wir in den \( \mathbb{R}^3 \) einbetten.
ebeneSqrt1.png ebeneSqrt2.png

Wir stellen fest, dass die Phasen entlang der Schlitze identisch sind. Schneiden wir beide Ebenen nun entlang der Schlitze auf und kleben die Kanten entsprechenden Arguments aneinander, so erhalten wir die Riemannsche Fläche.

sqrtRiemann1.png \( \stackrel{\text{verkleben}}{\longrightarrow} \) sqrtRiemann2.png

Wir haben durch dieses Verfahren ein Objekt erzeugt, auf dem die Quadratwurzel eine wohldefinierte (!) Funktion ist.

Beispiel 2 : Dritte Wurzel

Analog zur Quadratwurzel betrachten wir obigen Konstruktionsverfahren für die dritte Wurzel. Diese Funktion ist dreiwertig, nimmt also je nach Wahl des Arguments von \(z\) 3 unterschiedlche Werte an. Dementsprechend erhalten wir 3 Kopien der komplexen Ebene für die Riemannsche Fläche. Diese werden wieder entlang der negativen reellen Achse aufgeschnitten und entlang Kanten gleicher Phase verklebt. Wir erhalten somit die folgende dreischichtige Riemannsche Fläche.

root3Riemann.png

Beispiel 3 : Logarithmus

Selbiges Konstruktionsverfahren lässt sich auch auf den holomorphen Logarithmus anwenden. Wir erinnern uns, dass $$ \log(z) = \log(\left| z\ \right|) + i \arg (z) $$ gilt. Auch hier entsteht wieder eine Unstetigkeit durch die Wahl des spezifischen Arguments. Betrachten wir analog $$ \log(z) = \log(\left| z\ \right|) + i \arg(z) = \log(\left| z\ \right| ) + i (\Arg(z)+2 \pi k) $$ mit einer ganzen Zahl \(k\). Hierbei handelt es sich nicht mehr um eine n-deutigkeit, da es unendlich viele Möglichkeiten der Wahl von \(k\) gibt. Beispielhaft werden wir im Folgenden die Kopien der komplexen Ebene für \( k = -1, 0 , 1 \) betrachten. Analog zum obigen Konstruktionsverfahren schneiden wir die Kopien der komplexen Ebene entlang der negativen reellen Achse auf und verkleben gleichphasige Schnittkanten miteinander. Wir erhalten ein Objekt, das sich als logarithmische Wendeltreppe beschreiben ließe.

logRiemann.png

Beispiel 4 : Elliptische Funktionen

In diesem Abschnitt betrachten wir elliptische Funktionen. Dies sind Funktionen, die periodisch bezüglich zweier linear unabhängiger Perioden \(w1\) und \(w2\) sind. (Also \(w1/w2 \not\in \mathbb{R}\)) $$ f(z) = f(z+w1) = f(z+w2) $$ Wir stellen fest, dass eine solche Funktion durch die Festlegung in einem Periodenparallelogramm eindeutig festgelegt ist. Dementsprechend genügt die Betrachtung einer solchen Funktion auf einem solchen Parallelogramm, da wir aufgrund der Periodizität das Verhalten dere Funktion in jedem anderen Bereich auf dieses Ausgangsparallelogramm zurückführen können. Wir stellen fest, dass sich die Funktionswerte entlang der Längen und jene entlang der Bereiten entsprechen. Die induzierte Topologie ist also jene des Torus (verklebe die Längen miteinander und anschließend die Breiten). Dementsprechend können wir elliptische Funktionen durch ein Phasenportrait auf einem Torus visualisieren. Dies ist gleichzeitig die Riemannsche Fläche einer elliptischen Funktion. Wir betrachten hierzu als Beispiel die Weierstraß'sche p-Funktion mit Perioden \(w1 = 1,\ w2 = 1+i \):
weierstrassP.png weierstrassPTorus.png

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