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Funktionentheorie am Computer erkunden

Visualisierung von Logarithmus und Exponentialfunktion durch Funktionenfolge

Vorbereitungen

\( \def\Log{\mathop{\rm Log}\limits} \) Betrachtet man das Konvergenzverhalten von \( \root n\of z \) für \( n\to\infty \), so erkennt man mit Hilfe der Darstellung \[ \root n \of z=z^{1/n}=\exp\Bigl( \frac{1}{n}\Log z \Bigr), \] dass für \( z\in\mathbb{C}^- \) gilt: \( \root n\of z\to 1\) für \( n\to\infty \).

Um das Konvergenzverhalten genauer zu betrachten, kann man \( \exp(w)=1+w+\mathcal{O}(w^2) \) verwenden. Mit \( w=\frac{1}{n} \Log z \) gilt für \( z\in\mathbb{C}^- \) \[ \root n \of z = 1 + \frac{1}{n}\Log z + \mathcal{O}\Bigl( \frac{1}{n^2} \Bigr ) \] und man erhält \[ \lim_{n\to\infty} f_n(z)=\Log z \qquad\hbox{mit}\qquad f_n(z):= n\bigl( \root n\of z - 1 \bigr). \qquad (z\in\mathbb{C}^-) \] Analog gilt \[ \lim_{n\to\infty} g_n(z)=\exp z \qquad\hbox{mit}\qquad g_n(z):= \Bigl( 1 + \frac{z}{n} \Bigr)^n. \qquad (z\in\mathbb{C}) \]

Visualisierung: Logarithmus (Film und Interaktiv)

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Visualisierung: Exponentialfunktion (Film und Interaktiv)

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