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Funktionentheorie am Computer erkunden

Visualisierung: geometrische Reihe

Vorbereitungen

Betrachtet man \[ g_n(z):=\sum_{k=0}^n z^k = \frac{ 1-z^{n+1} }{ 1-z } \] mit \[ \lim_{n\to\infty}g_n(z)=\frac{1}{1-z}=:g(z) \] für \(|z|<1\), so erkennt man, dass alle Nullstellen von \( g_n \) auf der Einheitskreislinie liegen, also Betrag 1 haben.

Je mehr (einfache) Nullstellen auf \( \partial B_1(0) \) platziert werden, desto besser wird in \( B_1(0) \) die Funktion \( g \) approximiert.

Visualisierung: Phasenportrait von \( g_n \) und \( g \) (Interaktiv)

geom. Reihe für n=7

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