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Funktionentheorie am Computer erkunden

Stereographische Projektion

Vorbereitungen

\( \def\Re{\mathop{\rm Re}} \def\Im{\mathop{\rm Im}} \) Bei der stereographischen Projektion wird die komplexe Ebene durch $$ z\in\mathbb{C} \leftrightarrow \bigl(\Re(z),\Im(z),z_0\bigr) $$ in den \( \mathbb{R}^3 \) eingebettet. Dort ist die komplexe Ebene dann der affine Unterraum \( z=z_0 \). Gängige Werte sind \( z_0=-1 \) oder auch \( z_0=0 \). Alle folgenden Bilder sind für den Fall \( z_0=-1 \).

Nun betrachtet man im \( \mathbb{R}^3 \) eine Sphäre \(S\) mit Radius \(1\) und Mittelpunkt \(0\). Verbindet man nun einen beliebigen Punkt \( z\in\mathbb{C} \), also den Punkt \( (\Re(z),\Im(z),z_0) \) mit dem "Nordpol" \( (0,0,1) \) der Sphäre, so liegt auf dieser Strecke genau ein Schnittpunkt \(P(z)\) mit der Sphäre. So erhält man durch \(z\mapsto P(z)\) eine bijektive Abbildung \( \mathbb{C} \to S\backslash\{(0,0,1)\} \).
Skizze für stereographische Projektion

Es gilt $$ P(z)=\bigl(\lambda(z)\Re(z),\lambda(z)\Im(z),1+\lambda(z)(z_0-1)\bigr)\qquad\hbox{mit}\qquad \lambda(z)=\frac{2(1-z_0)}{\Re^2 z+\Im^2 z+(z_0-1)^2}. $$

Visualisierung: Film und Interaktiv

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