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Funktionentheorie am Computer erkunden

Sattelpunkte

Vorbereitungen

Sei \( f: U\to\mathbb{C} \) holomorph und nicht konstant und \( 0 \in U \) ein Sattelpunkt von \( f \), d. h. \( f(0) \ne 0 \) und \( f'(0)=0 \). \( f' \) habe bei \( 0 \) eine \(n\)-fache Nullstelle.

Dann lässt sich \( f \) schreiben als \[ f(z) = f(0)+\underbrace{ f'(0) }_{=0} z^1 + \frac{1}{2} \underbrace{ f''(0) }_{=0} z^2+\cdots + \frac{1}{n!}\underbrace{ f^{(n)}(0) }_{=0}z^n + z^{n+1} g(z) \] mit einem um \( 0 \) holomorphem \( g \) mit \( g(0)\ne 0 \).

Damit gilt \[ f(z)=f(0)+z^{n+1}g(0)+\mathcal{O}(z^{n+2}) \] für \( z\to 0 \).

Betrachtet man nun \( z=r \exp(i\varphi) \) mit \( r^{n+1}|g(0)| \ll |f(0)| \), so gilt \[ \arg(f(z))\approx \arg\left( f(0)+r^{n+1}\exp(i\varphi(n+1))g(0)\right) \] und in folgender Skizze wird der blaue Kreisrand \( \partial B_{r^{n+1}|g(0)|}\bigl( f(0)\bigr ) \) genau \( n+1 \) mal durchlaufen, wenn \( \varphi \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \) läuft.

sattel_arg.png

Phasenportrait

Im Phasenportrait von \( f \) treffen sich demnach \( 2(n+1) \) isochromatische Linien zur Farbe von \( \arg(f(0)) \) bei 0.

Folgendes Beispiel zeigt das Phasenportrait von \( f(z) = 0.7 + \exp(z)\cdot z^3 \). In diesem Fall hat also \( f' \) eine doppelte Nullstelle bei \(0\) und es ist \( n=2 \). Bei \( 0 \) treffen sich demnach 6 rote Linien.

sattel.png

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