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Partielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung (Modellbildung, Theorie und Numerik) - Gliederung und Planung

Kapitel 1: Wiederbelebung der guten alten Poissongleichung

§1.1 Bildeditierung mit der Poissongleichung

Literatur: Pérez, Gangnet, Blake: Poisson Image Editing Pfeil, SIGGRAPH 2003

§1.2 Beleuchtungsinvariante Bildeditierung

Literatur: Georgiev: Relighting, Retinex Theory and Perceived Gradients Pfeil, Mirage 2005

§1.3 Poisson-%$\alpha$%-Matting

Literatur: Sun, Jia, Tang, Shum: Poisson Matting Pfeil, SIGGRAPH 2004

§1.4 %$\alpha$%-Matting als Irrfahrt

Literatur: Grady, Schiwietz, Aharon, Westermann: Random Walks for Interactive Alpha-Matting Pfeil, VIIP 2005

Bemerkung: Das Prinzip der Herleitung einer PDG für die Wahrscheinlichkeit %$\alpha$% findet sich im Spezialfall der Übergangswahrscheinlichkeiten %$1/4$% in folgenden Büchern: Bornemann et al., Vom Lösen numerischer Probleme, Springer 2006, S. 255 ff., und Zauderer, PDEs of applied mathematics, Wiley 1989, §1.3.

Die Rechungen der Herleitung einer PDG finden sich in unserem konkreten Fall in folgendem Mathematica-Notebook.

§1.5 %$\Gamma$%-Konvergenz (a very short introduction)

Literatur: Die Seiten 15-18 des Buchs von Braides, %$\Gamma$%-convergence for beginners, oder die vier Seiten des §12.1 im Buch von Attouch, Buttazo und Michaille enthalten alles, was wir zunächst brauchen. Die Bücher finden sich im Literaturverzeichnis.

§1.6 Segmentierungskonsistenz des auf der Irrfahrt beruhenden %$\alpha$%-Mattings (mit %$\Gamma$%-Konvergenz)

Kapitel 2: Lineare Skalenraumtheorie

§2.1 Lineare Glättung

(2.1) Subsampling (2.2) Vermeidung von Randeffekten (Spiegelung und Periodisierung) (2.3) Translationsinvariante lineare Glättungsoperatoren (2.4) Point-Spread-Function (PSF) (2.5) Weitere Forderungen an glättende PSF (2.6) Asymptotische Äquivalenz mit Laplace-Operator

§2.2 Wärmeleitungsgleichung

(2.7) Wärmeleitungsleichung und Gauß'sche Weichzeichnung (2.8) Korollar: Evolutionscharakter der Faltung mit dem Gauß-Kern (2.9) Zentraler Grenzwertsatz (2.10) Scharfzeichnen, Gabor-Algorithmus, Unscharfmaskieren (2.11) Schlechtgestelltheit der Wärmeleitungsgleichung in Rückwärtsrichtung (2.12) Bildkompression mit Laplace'scher Pyramide

§2.3 Ein kritischer Blick auf die klassischen Anwendungen der linearen Theorie

(2.13) Kantenerkennung (2.14) Marr-Hildreth-Algorithmus (2.15) Haralick-Canny-Algorithmus (2.16) Kritik am linearen Skalenraum, phänomenologische Herleitung der MCM-Gleichung (2.17) Kontrastinvarianz (Wertheimer-Prinzip) (2.18) Gestaltdynamik (2.20) Abfilfe: Algorithmus von Merriman-Bence-Osher (2.21) Merriman-Bence-Osher als iterierter Medianfilter (2.22) Kurvenglättung mit linearer Wärmeleitungsgleichung (2.23) intrinsische Wärmeleitungsgleichung (2.24) intrinsische Wärmeleitungsgleichung = Krümmungsfluss (2.25) Level-Set-Doktrin (2.26) Krümmungsfluss für Grauwertbilder (2.27) Kontrastinvarianz der Krümmungsflussgleichung

Kapitel 3: Morphologische Filter und nichtlineare PDGs

§3.1 Die Matheron'schen Klassiker und die Normalenflussgleichung

(3.1) Dilation und Erosion von Mengen/binärer Bilder (3.2) Eigenschaften, Minkowski-Addition und -Subtraktion (3.3) Entrauschen mit Opening und Closing (3.4) Morphologische Mengenoperatoren (3.5) Level-Set-Doktrin für von oben halbstetige Funktionen (3.6) Das Threshold-Superposition-Prinzip (3.7) Stack-Filter-Algorithmus (3.8) Dilation und Erosion von Grauwertbildern (3.9) PDG für Dilation und Erosion (3.10) Analytische Problem: Lösungsbegriff (3.11) Numerische Probleme: Diskretisierung von |Du| (3.12) Wiederherstellung der Monotonie (Diskretisierung von Rouy/Tourin 1992)

§3.2 Der Begriff der Viskositätslösung

(3.13) Grundidee: "partielle Differentiation" (3.14) Nichtlineare elliptische und parabolische DG (3.15) Charakterisierung glatter Lösungen (3.16) Definition der Viskositätslösung (3.17) Cauchy-Problem (3.18) Stabilitätssatz (3.19) Bemerkungen zu Existenz und Eindeutigkeit (3.20) Beispiel: Dialtionsgleichung (3.21) Modifikation des Lösungsbegriffs für MCM (3.22) Invarianz der MCM unter stetigen Kontrasttransformationen

§3.3 Approximationstheorie für Viskositätslösungen

(3.23) Konsistenz (3.24) Stabilität: lokales Vergleichsprinzip (3.25) Approximative Lösungen (3.26) Approximationssatz von Barles/Souganidis (1991) (3.27) Beispiel: Konvergenz der Diskretisierung von Rouy/Tourin

§3.4 Medianfilter und Mean-Curvature-Fluss

(3.29) Beispiele: Entrauschen von Bildern mit Salt & Pepper Noise (3.30) Definition des Medianfilters für binäre Bilder (3.31) Med ist morphologischer Operator (3.32) Medianfilter für Grauwertbilder (3.33) Kontrastumkehr und Definition von Med- (3.34) Charakterisierung von Med = Med-: nicht-separable μ (3.35) Beispiele nicht-separabler μ (3.36) Zusammenhang mit statistischen Medianwert (3.37) Medianwert = L^1-Bestapproximation = Maximum-Likelihood-Schätzung für Lagrange-Verteilung (3.38) Lokales Vergleichsprinzip für inf-sup-Operatoren (3.39) Asymptotik (Konsistenz) morphologischer Operatoren für kleine Skalen (3.40) Asymptotik des (kontinuierlichen) Medianfilters (3.41) Konvergenz des iterierten Medianfilters gegen den Mean-Curvature-Flow (3.42) Normalisierung der t-Skala

§3.5 Diskretisierung des Mean-Curvature-Flows

(3.43) Problem mit iterierten diskreten morphologischen Operatoren: Quantisierung der Geschwindigkeit (3.44) Problem mit konventionellen Diskretisierungen: Sensitivität gegenüber Rauschen (3.45) Extrema-Killer (Vincent 1993) und hybrides Verfahren (Guichard/Morel 1996) (3.46) Finite-Differenzen-Schema I: zentrale Differenzen (3.47) Finite-Differenzen-Schema II: optimales 9-Punkte-Schema von Alvarez und Morel (1994) (3.48) Finite-Differenzen-Schema III: Monotonie erzwingt Differenzensterne unbeschränkter Größe (Motzkin/Wasow 1953, Crandall/Lions 1996) (3.50) Anwendung: Texturunterscheidung

§3.6 Axiomatische Skalenraumtheorie von Alvarez/Guichard/Lions/Morel (1992)

(3.49) Kausale Skalenräume (3.51) Invarianzforderungen an einen Skalenraum (3.52) Skalenräume und nichtlineare parabolische PDEs 2. Ordnung (3.53) Auswirkungen der Invarianzen auf die rechte Seite der PDE (3.54) Der isotrope lineare Skalenraum (3.55) Istrope morphologische Skalenräume (3.56) Der affin-invariante morphologische Skalenraum (AMSS)

Kapitel 4: Phänomenologische PDEs zur Bildverbesserung

§4.1 Anisotrope Diffusionsgleichungen

(4.1) Die Aufgabe: Glättung von Texturen bei gleichzeitiger Kantenverstärkung (4.2) Die Idee (Perona-Malik 1987): Edge-Stopping Diffusion (4.3) Für welche Diffusionsfunktionen g ist die Gleichung parabolisch? (4.4) Perona-Maliks g : kontrastgesteurte Vorwärts-Rückswärtsdiffusion normal zur Kante (4.5) Weitere Beispiele für Diffusionsfunktionen (You et al. 1996, Weickert 1996) (4.6) Theoretische und praktische Probleme mit der Wohlgestelltheit (4.7) Regularisierung des Perona-Malik-Modells: partielle Integro-Differentialgleichung von Catté et al. (1992) (4.8) Edge-Enhancing Diffusion (Weickert 1996) (4.9) Anwendung: Computer-Aided Quality Control (Weickert 1994) (4.10) Aufgabe: diffusive Kohärenzverstärkung (4.11) Der Strukturtensor (4.12) Weickert-Gleichung (4.13) Coherence-Enhancing Diffusion

§4.3 Numerische Verfahren für anisotrope Diffusionsgleichungen

(4.23) Die einfachste Idee: ein explizites Verfahren (4.24) Diskretes Maximumsprinzip und CFL-Bedingung (4.25) Semi-implizite Verfahren: unbedingte Stabilität und Maximumsprinzip (4.26) M-Matrizen (4.27) Bemerkungen zur Lösung des linearen Gleichungssystems (4.28) AOS-Verfahren (additive operator splitting) (4.29) Lösung der linearen Teilprobleme (4.30) Bemerkungen zur Weickert-Gleichung

§4.4 Die Schockfiltergleichung (L. Rudin 1984)

(4.31) Deblurring durch "Pseudoinverse" der Wärmeleitungsgleichung (gesteuerte Dilation/Erosion) (4.32) Bemerkungen zur Existenz und Eindeutigkeit (4.33) Der 2D-Fall: Marr-Hildreth vs. Canny-Haralick Kantendetektor (4.34) Zusammenhang mit morphologischem Filter von Kramer/Bruckner (1975) (Guichard/Morel 2001) (4.35) Kohärenzverbessernde Schockfilter (2003)

Kapitel 5: Variationsmethoden

§5.1 TV-Minimierung

(5.1) Beispiele: Deblurring unter Zusatzwissen (5.2) Modell der Bilddegradation (Blur+Rauschen) (5.3) Least-Squares Restauration: für kompakte Operatoren (Blur) schlecht gestellt (5.4) Tychonoff-Regularisierung (lineare Euler-Lagrange-Gleichung) (5.5) TV-Regularisierung (TV=totale Variation, Rudin/Osher/Fatemi 1992)

§5.2 Die direkte Methode der Variationsrechung

(5.6) Wiederholung: Der strukturelle Rahmen der direkten Methode (5.7) Beispiel: das H^1-Variationsproblem aus (5.4) (5.8) Gegenbeispiel: ein W^{1,1}-Variationsproblem verwandt mit (5.5)

§5.3 Funktionen beschränkter Variation (der Raum BV)

(5.9) BV als "variationelle Vervollständigung" von W^{1,1} (5.10) Eigenschaften von BV (Polarzerlegung, Approximierbarkeit, schwach*-Kompaktheit, untere Halbstetigkeit der Totalvariation, Einbettungssätze, Poincaré-Wirtinger-Ungleichung, Bemerkungen zur Feinstruktur) (5.14) Mengen endlichen Umfangs (Caccioppoli-Mengen 1952) (5.15) Coarea-Formel (Fleming/Rishel 1960) und Motivation im glatten Fall

§5.4 Relaxation von Variationsproblemen

(5.16) Beispiel: Relaxation von (TV) (5.17) Relaxationsbedingungen (5.18) Lösbarkeit des relaxierten restringierten TV-Minimierungsproblems (Chambolle/Lions 1997) (5.19) Interpretation der Zusatzvoraussetzung: Blur und Rauschen sind unkorrelliert (5.20) Zusammenhang von restringierten und unrestringierten Problem (5.21) Einschließungsprinzip

§5.5 Numerische Approximation des TV-Minimierungsmodells

(5.25) Galerkin-Approximation: Notwendigkeit der Approximation der Zielfunktionale (5.27) Γ-konvergente Approximation von (TV) (5.28) Halbquadratische Iteration (5.29) Lösung der linearen elliptischen Probleme