BannerHauptseite TUMHauptseite LehrstuhlMathematik SchriftzugHauptseite LehrstuhlHauptseite Fakultät

Numerik partieller Differentialgleichungen (Numerik 4)

1 Einführung

15.04.2008: Skript

1.1 Modellproblem 1: Die Laplace-/Poisson-Gleichung

(1.1) Die elastische Membran
(1.2) Modellierung
(1.3) Das Variationsproblem
(1.4) Der Gaußsche Integralsatz
(1.5) Die Laplace-Gleichung
(1.6) Lösung auf dem Kreis
(1.7) Die Poisson-Gleichung

1.2 Modellproblem 2: Die Wellengleichung

(1.8) Die schwingende Saite
(1.9) Modellierung
(1.10) Kontinuierlicher Limes
(1.11) Die Wellengleichung

1.3 Modellproblem 3: Die Wärmeleitungsgleichung

18.04.2008: Skript

1.4 Typeinteilung für PDG

(1.12) Definitionen/Begriffe
(1.13) Lineare PDGen 2. Ordnung
(1.14) Wohlgestellte Probleme
(1.15) Ein schlecht gestelltes Problem
(1.16) Abhängigkeits- und Einflussbereiche

2 Finite-Differenzen-Verfahren

2.1 Elliptische Randwertprobleme

(2.1) Einführung/Erinnerung: gewöhnliche Randwertprobleme

22.04.2008: Skript

(2.2) Abstraktes Finite-Differenzen-Verfahren
(2.3) Definition: Konsistenz
(2.4) Definition: Stabilität
(2.5) Definition: Konvergenz
(2.6) Allgemeine Konsistenzbedingungen
(2.7) FD auf äquidistantem Gitter
(2.8) Approximation am Rand
(2.9) Resultierendes LGS
(2.10) Beispiel: 5-Punkte-Stern

25.04.2008: Skript

(2.11) Das Maximumprinzip
(2.12) Folgerungen
(2.13) Gleichmäßig elliptische Operatoren, stetige Abhängigkeit
(2.14) Das diskrete Maximumprinzip
(2.15) Folgerungen
(2.16) Korollar: eindeutige Lösbarkeit des diskreten RWP
(2.17) Korollar: Stabilität
(2.18) Konvergenzsatz

2.2 Anfangs(randwert)probleme

29.04.2008: Skript (7.5.: Lax-Friedrichs korrigiert)

(2.19) Beispiel: Advektionsgleichung
(2.20) Numerisches Experiment
(2.21) Die CFL-Bedingung
(2.22) Beispiel: Advektionsgleichung
(2.23) Wohlgestelltheit nach von Neumann
(2.24) Die von Neumann-Bedingung

3 Finite-Elemente-Methoden (FEM)

3.1 FEM für die Poisson-Gleichung

02.05.2008: Skript

(3.1) Modellproblem, klassische Lösung
(3.2) Eine Variationsgleichung
(3.3) Schwache Lösung, erster Versuch
(3.4) Das zugehörige Variationsproblem
(3.5) Probleme mit dem Funktionenraum V
(3.6) Schwache Ableitungen

06.05.2008: Skript

(3.7) Sobolev-Räume
(3.8) Die Poincaré-Friedrichssche-Ungleichung
(3.9) Bilinearformen auf Hilberträumen
(3.10) Der Satz von Lax-Milgram
(3.11) Schwache Lösungen, Existenzsatz
(3.12) Diskretisierung: das Ritz-Galerkin-Verfahren

09.05.2008: Skript

(3.13) Wohlgestelltheit, Kondition, Stabilität
(3.14) Das Lemma von Céa
(3.15) Beispiel: Lineare FE für die Poisson-Gleichung
(3.16) Zusammenfassung: "der rote Faden"

3.2 Elliptische Operatoren 2. Ordnung in Divergenzform

16.05.2008: Skript

(3.17) Problemstellung
(3.18) Variationsproblem
(3.19) Satz von Lax-Milgram
(3.20) Sobolev-Lemma
(3.21) Einbettungssatz von Rellich-Kontrasov
(3.22) Spursatz
(3.23) Anwendung auf das Problem (3.18)
(3.24) Fall 1
(3.25) Beispiel
(3.26) Fall 2
(3.27) Beispiel
(3.28) Poincaré-Ungleichung

23.05.2008: Skript

(3.29) Dirichlet-Problem mit inhomogener Randbedingung
(3.30) Neumann-Randbedingung/Beispiel
(3.31) Natürliche Randbedingung
(3.32) Neumann-RB als natürliche RB
(3.33) Neumann-RB für die Poisson-Gleichung
(3.34) Gemischte RB/Beispiel
(3.35) Zusammenfassung

3.3 Finite-Elemente-Räume

27.05.2008: Skript

(3.36) Ritz-Galerkin-Diskretisierung
(3.37) Definition: Triangulierung
(3.38) Kriterium für %$V_h\subset H_0^1(\Omega)$%
(3.39) Beispiele im %$\mathbb{R}^2$%
(3.40) Abstrakter Finite-Elemente-Raum

30.5.2008: Skript

(3.41) Affine FE-Räume

3.4 Rechentechnische Überlegungen

(3.42) Die Steifigkeitsmatrix
(3.43) Besetzungsstruktur von %$A_h$%
(3.44) Assemblierung der Steifigkeitsmatrix
(3.45) Berechnung der Einträge

3.5 Fehlerabschätzungen

3.6.2008: Skript

(3.46) Fehlerschätzung durch Interpolation
(3.47) Lokalisierung des Fehlers
(3.48) Transformation auf Referenzdreieck
(3.49) Abschätzung von %$\|B\|$%
(3.50) Das Bramble-Hilbert-Lemma
(3.51) Abschätzung des lokalen Fehlers

6.6.2008: Skript, GMRES

(3.52) Reguläre Triangulierung
(3.53) Konvergenzsatz
(3.54) %$L^2$%-Fehlerschätzung
(3.55) %$L^\infty$%-Fehlerschätzung

4 Iterative Löser für lineare Gleichungssysteme

4.1 Erinnerung: GMRES

(4.1) Das Arnoldi-Verfahren
(4.2) Interpretation: Orthonormalbasis für Krylovraum
(4.3) Die Lanczos-Iteration
(4.4) Idee von GMRES
(4.5) Der Algorithmus
(4.6) Abbruchkriterium
(4.7) Konvergenz

4.2 Erinnerung: Das cg-Verfahren

13.6.2008: CG1, CG2, CG3

(4.8) Idee
(4.9) Herleitung
(4.10) Konvergenz
(4.11) cg als Optimierungsverfahren

4.3 Klassische Iterationsverfahren

17.6.2008: Skript

(4.12) Idee: Fixpunktiteration
(4.13) Allgemeines Konvergenzkriterium
(4.14) Das Jacobi-Verfahren
(4.15) Das Gauß-Seidel-Verfahren
(4.16) (Strikte) Diagonaldominanz
(4.17) Abhängigkeitsgraph und Irreduzibilität
(4.18) Konvergenz des Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahrens
(4.19) Relaxation: Idee
(4.20) Wahl des optimalen Relaxationsparameters
(4.21) Das SOR-Verfahren

20.6.2008: Skript

(4.22) Anwendung auf das Modellproblem
(4.23) Konvergenz für das Modellproblem: Jacobi
(4.24) Konvergenz für das Modellproblem: cg

4.4 Mehrgitter- und Multilevel-Verfahren

(4.25) Beobachtung: Jacobi glättet
(4.26) Idee der Mehrgitterverfahren
(4.27) Ein Zweigitter-Algorithmus
(4.28) Spektralradius der resultierenden Iterationsmatrix

24.6.2008: Skript

(4.29) Rekursiver Mehrgitter-Algorithmus
(4.30) V- und W-Zyklus
(4.31) Übergang zwischen den Gittern: Prolongation und Restriktion
(4.32) MGM Pseudocode
(4.33) Darstellung der Restriktion
(4.34) Konvergenz des Zweigitter-Algorithmus (abstrakt)

27.6.2008: Skript

(4.35) Diskrete Normen
(4.36) Die gedämpfte Richardson-Iteration
(4.37) Glättungseigenschaft der Richardson-Iteration

01.07.2008: Skript

(4.38) Verknüpfung mit Sobolev-Normen
(4.39) Glättung durch gedämpfte Richardson-Iteration
(4.40) Approximationseigenschaft
(4.41) Satz: Konvergenz des Zweigitter-Algorithmus
(4.42) Konvergenzraten im Mehrgitter-Algorithmus
(4.43) Konvergenzsatz für den W-Zyklus
(4.44) Aufwand der Mehrgitter-Iteration

5 Adaptive Finite-Elemente-Methoden

04.07.2008: Skript

(5.1) Ziel/Ansatz
(5.2) Verfeinerungen
(5.3) Adaptiver Grundalgorithmus
(5.4) Motivation für lokale Verfeinerung
(5.5) A posteriori-Fehlerschätzer
(5.6) Residuenbasierter a posteriori-Fehlerschätzer
(5.7) Gitteradaption

6 Numerische Methoden für Erhaltungsgleichungen

6.1 Theoretischer Hintergrund

08.07.2008: Skript

(6.1) Beispiel:Verkehrsfluss
(6.2) Charakteristiken
(6.3) Zusammenbruch klassischer Lösungen
(6.4) Definition: schwache Lösung
(6.5) Die Rankine-Hugoniot-Bedingung
(6.6) Nichteindeutigkeit schwacher Lösungen
(6.7) Viskositätslösungen
(6.8) Die Entropiebedingung

11.07.2008: Skript

6.2 Finite-Differenzen-Verfahren

(6.9) Abschreckendes Beispiel
(6.10) Lemma
(6.11) Die Integralform der Erhaltungsgleichung
(6.12) FD-Approximation in Erhaltungsform
(6.13) Lemma: lokaler Fehler
(6.14) Konvergenz: der Satz von Lax-Wendroff