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Numerik 3 (Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen) WS 2007/08

1. Einführung

1.1. Populationsdynamik

16.10.2007: Skript

(1.1) Das Modell, raeuberbeute.m
(1.2) Das explizite Euler-Verfahren, expl_euler.m
(1.3) Das implizite Euler-Verfahren, impl_euler.m, Draeuberbeute.m
(1.4) Die Mittelpunkts-Regel, midpoint.m
(1.5) Vergleich der drei Verfahren
(1.6) Invarianten im Räuber-Beute-Modell, rb_invariant.m

1.2. Reaktionskinetik

(1.7) Eine einfache Reaktion
(1.8) Kompliziertere Reaktionen

1.3. Newton'sche Mechanik

19.10.2007: Skript

(1.9) Die Newton'schen Gesetze
(1.10) Das Zwei-Körper-Problem (Keplerproblem)

1.4. Grundbegriffe

(1.11) Anfangswertprobleme
(1.12) Der Existenzsatz von Peano
(1.13) Der Eindeutigkeitssatz von Picard/Lindelöf
(1.14) Das Lemma von Gronwall

22.10.2007: Skript

(1.15) Evolution
(1.16) Fluss

1.5. Beispiele

(1.17) Fall (i): Lösungen maximaler Lebensdauer
(1.18) Fall (ii): Blow-up
(1.19) Fall (iii): Kollaps am Rand von%$\Omega$%

2. Kondition von AWPn

2.1. Kondition bzgl. Anfangswert

(2.1) Differenzierbarkeit der Evolution
(2.2) Die Variationsgleichung

25.10.2007: Skript

(2.3) Die Propagationsmatrix
(2.4) Punktweise Kondition
(2.5) Intervallweise Kondition
(2.6) Eigenschaften der intervallweisen Kondition
(2.7) Abschätzung der intervallweisen Kondition

2.2. Störungen der rechten Seite

(2.8) Parametrische Störungen
(2.9) Die Sensitivitätsgleichung
(2.10) Die Sensitivitätsmatrix
(2.11) Allgemeine Störungen

3. Einschrittverfahren

3.1. Konvergenztheorie

30.10.2007: Skript

(3.1) Definition: Gitter, Gitterfunktionen und Diskretisierungen
(3.2) Definition: Einschrittverfahren (ESV) u. diskrete Evolutionen
(3.3) Definition: Konsistenz einer diskreten Evolution
(3.4) Definition: Konsistenzfehler oder lokaler Fehler
(3.5) Charakterisierung konsistenter ESV
(3.6) Definition: Konsistenzordnung
(3.7) Beispiel: Konsistenzordung p=1 beim expliziten Euler-Verfahren
(3.8) Definition: Diskretisierungsfehler und Konvergenzordnung
(3.9) Konvergenzsatz: Konsistenzordnung p ⇒ Konvergenzordnung p

3.2. Runge-Kutta-Verfahren (RKV)

(3.10) Taylor-Verfahren

02.11.2007: Rückblick, Skript

(3.11) Idee der Runge-Kutta-Verfahren; Verfahren von Runge
(3.12) Allgemeines Runge-Kutta-Verfahren
(3.13) Konsistente Runge-Kutta-Verfahren
(3.14) Autonomisierung
(3.15) Maximale Ordnung p eines expliziten s-stufigen Runge-Kutta-Verfahrens: p≤s
(3.16) Arbeitsplan zur Konstruktion von Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung

3.3. Aufstellen der Bedingungsgleichungen

(3.17) Wiederholung: Multivariate Taylor-Entwicklung
(3.18) Taylor-Entwicklung von Φτx bis O(τ4)
(3.19) Taylor-Entwicklung von Ψτx bis O(τ4)
(3.20) Bedingungsgleichungen für p=3
(3.21) Wurzelbäume

06.11.2007: Skript

(3.22) Allgemeine Taylor-Entwicklung des Flusses
(3.23) Allgemeine Taylor-Entwicklung des diskreten Flusses
(3.24) Satz von Butcher,
(3.24*) Code zum Aufstellen und Lösen der Bedingungsgleichungen (von F. Bornemann):
Mathematica-Notebook, Maple-Worksheet
(3.25) Notwendigkeit der Bedingungsgleichungen
(3.26) Beispiel: Bedingungsgleichungen für p=4
(3.27) Die Kutta'sche 3/8-Regel

09.11.2007: Skript

(3.28) Das "klassische" Runge-Kutta-Verfahren
(3.29) Anzahl der Bedingungsgleichungen und Butcher-Schranken

3.4. Schrittweitensteuerung

(3.30) Rückblick: Adaptive Quadratur
(3.31) Optimale Gitter
(3.32) Optimale Schrittweite
(3.33) Schätzung des Konsistenzfehlers
(3.34) Einschrittverfahren mit Schrittweitensteuerung
(3.35) Eingebettete Runge-Kutta-Verfahren
(3.36) Der Fehlberg-Trick
(3.37) Ein RK4(3)-Verfahren

16.11.2007: Skript

(3.38) Erzielter Diskretisierungsfehler

3.5. Extrapolationsverfahren

(3.39) Rückblick: Extrapolation bei der Quadratur
(3.40) Beispiel: Extrapolation des Euler-Verfahrens
(3.41) Extrapolation von Einschrittverfahren
(3.42) Lemma: Störung des diskreten Flusses
(3.43) Satz von der asymptotischen Entwicklung

20.11.2007: Skript

(3.44) Algorithmus: Extrapolation von Einschrittverfahren
(3.45) Ordnung des Extrapolationsverfahrens
(3.46) Schrittweitensteuerung
(3.47) Ordnungssteuerung
(3.48) Reversibilität
(3.49) Asymptotische Entwicklung für reversible diskrete Flüsse

23.11.2007: Skript

(3.50) Lemma: es gibt kein reversibles explizites RK-Verfahren
(3.51) Die explizite Mittelpunktsregel
(3.52) Zugehöriges Einschrittverfahren
(3.53) Algorithmus: Extrapolation der expliziten Mittelpunktsregel

3.6. Steife Anfangswertprobleme & Stabilität

(3.54) Die Dahlquist'sche Testgleichung

27.11.2007: Skript

(3.55) Das implizite Euler-Verfahren
(3.56) Der Begriff des steifen Anfangswertproblems
(3.57) Stabilität (kontinuierlicher) Flüsse
(3.58) Spezialfall: lineare Systeme
(3.59) Stabilität linearer diskreter Flüsse
(3.60) Das Stabilitätsgebiet

30.11.2007: Skript

(3.61) Beispiel: Stabilitätsgebiete der Euler-Verfahren
(3.62) Rationale Approximation der Exponentialfunktion
(3.63) Stabilitätsgebiete expliziter RK-Verfahren
(3.64) Die charakteristische Schrittweite
(3.65) Beispiel

4.12.2007: Skript

(3.66) Schrittweitenbeschränkung für explizite RK-Verfahren
(3.67) Stabilitätsbegriffe

3.7. Implizite Runge-Kutta-Verfahren

(3.68) Struktur impliziter RK-Verfahren
(3.69) Eigenschaften impliziter RK-Verfahren
(3.70) Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems

7.12.2007: Skript

(3.71) Die Stabilitätsfunktion
(3.72) Beispiel: die implizite Trapezregel
(3.73) Maximale Ordnung impliziter RK-Verfahren

3.8. Kollokationsverfahren

(3.74) Idee
(3.75) Kollokationsverfahren sind implizite RK-Verfahren
(3.76) Kollokation und Quadratur

11.12.2007: Skript

(3.77) Globaler Approximationsfehler
(3.78) Beispiele: Gauß- und Radau-Verfahren

3.9. Dissipative Probleme und B-Stabilität

(3.79) Dissipative Probleme
(3.80) B-Stabilität

14.12.2007: Skript

(3.81) Gauß- und Radau-Verfahren sind B-stabil
(3.82) Invarianten (erste Integrale)
(3.83) Erhalt quadratischer Invarianten

3.10. Linear-implizite Einschrittverfahren

(3.84) Motivation
(3.85) Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität

18.12.2007: Skript

(3.86) Asymptotische Stabilität diskreter Flüsse
(3.87) Vererbung asymptotischer Stabilität
(3.88) Idee linear-impliziter Verfahren
(3.89) Rosenbrock-Verfahren
(3.90) Erweiterungen

3.11. Wahl eines Einschrittverfahrens

4. Mehrschrittverfahren

21.12.2007: Skript

4.1. Lineare Mehrschrittverfahren

(4.1) Ansatz
(4.2) Beispiel: explizite Mittelpunktsregel
(4.3) Beispiel: das Milne_Simpson-Verfahren
(4.4) Allgemeines lineares k-Schrittverfahren

08.01.2008: Skript

(4.5) Existenz und Eindeutigkeit der Gitterfunktion
(4.6) Der Verschiebungsoperator
(4.7) Konsistenz
(4.8) Konsistenzbedingungen

12.01.2008: Skript

(4.9) Maximal erzielbare Ordnung
(4.10) Stabilität
(4.11) Konvergenz => Konsistenz & Stabilität
(4.12) Konsistenz & Stabilität => Konvergenz

15.01.2008: Skript

(4.13) maximale Ordnung stabiler Verfahren: Dahlquist-Schranken

4.2. Adams-Verfahren

(4.14) Konstruktion
(4.15) Explizite (Adams-Bashforth-)Verfahren
(4.16) Implizite (Adams-Moulton-)Verfahren

18.01.2008: Skript

(4.17) Prädiktor-Korrektor-Verfahren

4.3. Steife Probleme

(4.18) Stabilitätsgebiete
(4.19) Wurzelortskurve
(4.20) Stabilitätsgebiete der expliziten Adams-Verfahren
(4.21) Die zweite Dahlquist-Schranke

4.4. BDF-Verfahren

(4.22) Konstruktion
(4.23) Stabilitätseigenschaften
(4.24) Interpretation als numerische Differentiation

22.01.2008: Skript

5. Verfahren für Randwertprobleme

5.1. Einführung und Grundlagen

(5.1) Motivation: Berechnung periodischer Lösungen
(5.2) Motivation: Variationsprobleme (Beispiel Brachistochrone: zykloide.png, zykloide.m)
(5.3) Notation: Randwertprobleme
(5.4) Existenz und (lokale) Eindeutigkeit

25.01.2008: Skript

(5.5) Konditionsanalyse
(5.6) Beispiele und Konditionsvergleiche (bsp_brachistochrone in brachistochrone.zip) und (bsp_sinh in sinh.zip, benötigt Dopri, siehe ODE Mexfies)

5.2. Mehrzielmethode (MZM)

(5.7) Einfachschießen
(5.8) Kritik am Einfachschießen
(5.9) Mehrzielmethode (multiple shooting)
(5.10) Newton-Verfahren: Struktur bei zyklischen Systemen
(5.11) Stabilisierung durch MZM

29.01.2008: Skript

5.3. Differenzen- und Kollokationsverfahren

(5.12) Idee der Differenzenverfahren
(5.13) Nichtlineares Gleichungssystem
(5.14) Block-Gauß-Elimination
(5.15) Darstellung der Lösung
(5.16) Kollokationsverfahren

29.01.2008: Skript

5.4. Optimalsteuerung

(5.17) Problemstellung
(5.18) Die Optimalwertfunktion
(5.19) Regularität der Optimalwertfunktion
(5.20) Das Optimalitätsprinzip
(5.21) Diskretisierung in der Zeit
(5.22) Approximationsfehler
(5.23) Werteiteration
(5.24) Diskretisierung im Ort

6. Geometric Numerical Integration

05.02.2008: Skript

6.1. Konservative Differentialgleichungen

(6.1) Lagrange & Hamilton
(6.2) Beispiel: Masse im Potentialfeld
(6.3) Hamilton-Systeme
(6.4) Erhaltungseigenschaften des Flusses

6.2. Symplektizität

(6.5) Symplektische Abbildungen
(6.6) Hamilton-Systeme erzeugen symplektischen Fluss
(6.7) Symplektischer Fluss <=> Hamilton-System

08.02.2008: Skript

(6.8) Erhalt quadratischer Invarianten
(6.9) Symplektische Runge-Kutta-Verfahren

6.3. Rückwärtfehleranalyse und Langzeitenergieerhaltung

(6.10) Modifizierte Differentialgleichung
(6.11) Die modifizierte Gleichung eines Hamilton-Systems
(6.12) Energieerhaltung über lange Zeiten