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Höhere Mathematik 3 für Vermessungswesen & Numerische Methoden I/II für Bauingenieure - Gliederung und Planung

1. Woche (18./19.10.)

Einführung in die Fehlertheorie

Fehlerquellen, Fehlermaße (abs./rel.), Gleitkommaarithmetik, Kondition eines Problems, Auslöschung, Vektor- und Matrixnormen, Konditionszahl einer Matrix, numerisch singuläre Matrizen

2. Woche (25./26.10.)

Stabilität von Algorithmen, Prinzip des äquivalenten Datenfehlers, Beurteilung von Näherungslösungen linearer Gleichungssysteme

Lösung linearer Gleichungssysteme

einfache Gleichungssystem (Dreiecksmatrizen), Gauß'sche LR-Zerlegung, Wiederverwendung des L- und R-Faktors, Pivotisierung

3. Woche (2.11.)

Cholesky-Zerlegung, dünnbesetzte Gleichungssysteme

4. Woche (8./9.11.)

Lineare Ausgleichsrechnung

Parameteridentifikation, Methode der kleinsten Fehlerquadrate, lineare Ausgleichsprobleme, Skalierung mit absoluten Toleranzen der Messfehler, Normalengleichung, QR-Zerlegung

5. Woche (15./16.11.)

Nichtlineare Gleichungssysteme

Konditionszahl, Newton-Iteration, Abbruchkriterium, natürlicher Monotonietest

6. Woche (22./23.11.)

numerische Differentiation, automatische Differentiation, Tricks für gute Startwerte

Nichtlineare Ausgleichsrechnung

Gauß-Newton-Iteration, Änderungen gegenüber Newton-Verfahren

7. Woche (29./30.11.)

Interpolation mit Polynomen und Splines

Lagrange-Interpolation, baryzentrische Form, Probleme mit hohem Polynomgrad, kubische Hermite-Interpolation, formerhaltene Splines, kubische Splineinterpolation, Extrapolation

Quadratur

Stammfunktion ist keine Lösung, summatorische Zerlegung in Teilintervalle, Quadraturformeln durch Interpolation, Trapezregel

8. Woche (6.12.)

Begriff der Ordnung einer Quadraturformel

9. Woche (13./14.12.)

adaptive Quadratur, Konzept der Fehlerschätzung

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen I (nicht-steif)

Anfangswertprobleme, Richtungsfeld, explizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Begriff der Ordnung, Schrittweitensteuerung, Konzept der Fehlerschätzung


10. Woche (20./21.12.)

Symmetrische Eigenwertprobleme

Kondition, äquivalenter Datenfehler, Rayleigh-Quotient, Vektoriteration, Bsp.: Google's PageRank, inverse Vektoriteration mit Shift, QR-Algorithmus

11. Woche (10./11.01.)

Math. Modellbildung und numerische Simulation am Beispiel der Tacoma-Narrows-Bridge

Gedämpfte harmonische Schwingungen, Resonanzen, nichtlineare Schwingungen, gekoppelte nichtlineare Schwingungen, Anregung von Torsionsschwingungen aus einem Symmetriebruch bei großen vertikalen Schwingungen, Regularisierung von nicht-glatten rechten Seiten eines gewöhnlichen Differentialgleichungssystems, Aufruf des Integrators ode45 in Matlab

12. Woche (17./18.01.)

Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen II (steif)

van der Pol-Oszillator, Schrittweitenbegrenzung expliziter Runge-Kutta-Verfahren aus Stabilitätsgründen, Dahlquist'sche Testgleichung, bedingte und unbedingte Stabilität, implizite Runge-Kutta-Verfahren

Einführung in die partiellen Differentialgleichungen

Randwert- und Anfangsrandwertprobleme, Klassifizierung: elliptisch/parabolisch/hyperbolisch, Prototypen: Poisson-Gleichung, Wärmeleitungsgleichung und Wellengleichung, Nichtumkehrbarkeit der Zeit bei der Wärmeleitungsgleichung

13. Woche (23./24.01.)

Finite-Differenzen-Verfahren

Motivation der finiten Differenzen, Herleitung von Differenzenquotienten, Bestimmen der Fehlerordnung, Schreibweise in Matrixform, Behandlung der 1D Poisson-Gleichung (mit Dirichlet Randdaten)

Linienmethode

Räumliche Diskretisierung mittels finiter Differenzen, Behandlung der zeitlichen Diskretisierung (im parabolischen und hyperbolischen Fall) durch Integratoren für gewöhnliche DGLen, Motivation und Herleitung der CFL-Bedingungen für die 1D Wärmeleitungs- und die Wellengleichung, physikalische Interpretation

14. Woche (31.01./01.02.)

Anwendung der Linienmethode auf die Aufheizung eines Stahlträgers mit Brandschutzbeschichtung durch Strahlungshitze, Behandlung von Randbedingungen vom Stefan-Boltzmann-Typ, Ankopplung gewöhnlicher Differentialgleichungen am Rand, virtuelle Punkte und ihre Elimination, Erhalt der Konsistenzordnung am Rand, Auswahl des Integrators für die Linienmethode, Komplexität bei Verwendung nicht-steifer Integratoren (CFL-Bedingung) und steifen Integratoren (Kosten der Lösung der Gleichungssysteme)

15. Woche (07.01./08.02.)

Einführung in die Finiten-Elemente

Vorstellung der Arbeitsschritte anhand eines Softwarepakets: Vernetzung des Rechengebiets (Beispiel Scherpannungen in einem Schraubenschlüssel), Verfeinerung, Lösung und Visualisierung, schwache Formulierung der Poisson-Gleichung, Galerkin-Ansatz: Projektion in endlich-dimensionalen Unterraum, Finite-Elemente-Räume am Beispiel linearer FE, Knotenbasis (Lagrange-Basis), Aufstellen des linearen Gleichungssystems, Steifigkeitsmatrix, Vektor der rechten Seite (Quadratur!), Struktur der Steifigkeitsmatrix (insbesondere dünne Besetzung), Minimalwinkelbedingung, Konvergenzeigenschaft, Lösen der linearen Gleichungssysteme (Komplexität direkter und iterativer Lösungsverfahren, Stichworte: Mehrgitter- und Gebietszerlegungsmethoden)