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Funktionentheorie für Ingenieure - Gliederung und Planung

1. Woche (17.4.)

Einführung ins Komplexe, Grundbegriffe

Definitionen und geometrische Darstellung, Gebiete, Zahlenfolgen, Konvergenz

(Elementare) Funktionen I

Addition (Translation), Drehstreckung (Multiplikation), Kehrwertbildung, ganzzahlige Potenzen, Exponentialfunktion, Eindeutigkeit (Fundamentalstreifen)

2. Woche (24.4.)

(Elementare) Funktionen II, Eineindeutigkeit, Umkehrbarkeit

Komplexer Logarithmus (Hauptwert), allg. Potenzen, Trigonometrische Funktionen, Wurzeln (Hauptzweig), Hyperbolische (Trigonometrische) Funktionen, Begriffe der Eineindeutigkeit und Umkehrbarkeit, Abbildungsbeispiele unter Anwendung elementarer Funktionen

3. Woche (8.5.)

Die Möbiustransformation (MT)

Definition der MT, geometrische Interpretation, Gruppeneigenschaften der MT (Umkehrfunktion und Hintereinanderschaltung), kreis-, winkel- und orientierungstreue der MT, kreissymmetrische Punktepaare, 6-Punkte Formel, Beispiele

4. Woche (15.5.)

Unendliche Reihen, Potenzreihen

Begriffe der absoluten und gewöhnlichen Konvergenz, Konvergenzkriterien (Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium), Def. des Konvergenzbereichs und -radius, Beispiele

Differenzierbarkeit im Komplexen, Analytische Funktionen

Definition der (komplexen) Differenzierbarkeit, Herleitung der Cauchy-Riemann'schen DGLen (Kartesische Form, Polarform), Eigenschaften des Differentials (Summenregel, Produkteregel, Quotientenregel), Zusammenhang zu Potenzreihen, Existenz der Ableitung der Umkehrfunktion

5. Woche (22.5.)

Konforme Abbildungen

Definition konformer Abbildungen, geometrische und physikalische Interpretation

Potentialprobleme, Harmonische Funktionen I

Definition harmonischer Funktionen, komplexe Potentiale (Definition, Existenz und Konstruktion), Definition des komplexen Gradienten, Verpflanzung (des Potentials und des Gradienten), Erhaltung der Harmonizität, Definition des Dirichlet-Problems, Beispiele

6. Woche (5.6.)

Integration im Komplexen, Haupt- und Fundamentalsatz der Funktionentheorie

Definition des Kurvenintegrals, Behandlung des Integrals als zwei reelle Integrale, Integrationsvorschrift, Beispiele zur Weg(un)abhängigkeit, Fundamentalintegral, der Cauchy-Integralsatz, Wegunabhängigkeit bei analytischen Integranden, Stammfunktion, Kontourverformung, die Cauchy-Integralformel (verallgemeinerte Variante), Beispiele

7. Woche (12.6.)

Anwendungen der Cauchy-Integralformel, Harmonische Funktionen II

Mittelwerteigenschaft, Maximumsprinzip, Fundamentalsatz der Algebra, Definition der Taylorreihe, Existenzbeweis, Satz von Liouville (speziell und allgemein), das Kreiskettenverfahren (analytische Fortsetzung), Mittelpunktsformel und Maximumsprinzip für harmonische Funktionen, Beispiele

8. Woche (19.6.)

Die Laurentreihe

Definition der Laurentreihe, Eindeutigkeit, Verhalten im Kreisring, Vereinfachungen bei der Konstruktion der Laurentreihe, Laurentreihe von Stammbrüchen, Vorgehen bei rationalen Funktionen, Beispiele

9. Woche (26.6.)

Isolierte Singularitäten

Definition isolierter Singularitäten, Taxonomie der Singularitäten, Begriff der Ordnung eines Pols, Zusammenhang zur Laurentreihe, Eigenschaften hebbarer Singularitäten, Eigenschaften von Polen, Charakter wesentlicher Singularitäten (Satz von Casoratti-Weierstrass), Beispiele

Residuenkalkül I

Kontourintegrale um mehrere Löcher, Definition des Residuums, Zusammenhang zum Kontourintegral und der Laurentreihe, Bestimmen des Residuums bei Spezialfällen (1-facher Pol, m-facher Pol), Beispiele

10. Woche (3.7.)

Residuenkalkül II

Behandlung spezieller Integrale (rationale trigonometrische und superlinear abklingende Integranden, Fourierintegrale), Cauchy-Hauptwert, Anzahlformel für Null- und Polstellen, Satz von Rouché, Windungszahl, Argumentenprinzip, Beispiele

11. Woche (10.7.)

Laplacetransformation, inverse Laplacetransformation, Nyquist-Kriterium

Definition der Laplacetransformation, Eigenschaften der Laplacetransformierten, Eigenschaften des Transformationsoperators, Faltungsintegral, Anwendungen auf Regelsysteme, Begriff der Übertragungsfunktion und der Stabilität, rückgekoppelte Systeme, Definition der inversen Laplacetransformierten, Bestimmen der Inverse (Potenzreihenansatz, Integralansatz), Anwendung des Residuensatzes zur Bestimmung der Inversen, Herleitung des Nyquist-Kriteriums

12. Woche (17.7.)

Repetitorium und Beispiele