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Zufallsmatrizen: Theorie, Numerik und Anwendungen (MA5306)

Prof. Dr. Folkmar Bornemann, Sommersemester 2011, Vorlesung 2h

Mo 12:15 - 13:45, Raum MI 00.07.011

Aktuelles

Die Vorlesungen am 4. und 11. Juli fallen aus.

Termine & Themen & Begleitmaterial

DatumSorted descending Thema Begleitmaterial
6.6.11 Stieltjes-Transformation  
30.5.11 Maßkonzentration (Fortsetzung), stochastisches Landau-O Handout #4 (Stochastisches Landau-Symbol)
27.6.11 Gauß'sche Ensembles, Joint Eigenvalue Distribution  
23.5.11 Beweis des Wigner'schen Halbkreissatzes Handout #2 (Maßkonzentration)
20.6.11 2. Beweis des Wigner'schen Halbkreissatzes  
2.5.11 Phänomene: Circular-, Elliptical-, Semicircular- und Handout #1 (Konvergenzbegriffe)
16.5.11 Momentenmethode: Beweis des zentralen Grenzwertsatzes Terry Taos Blog: (a) CLT Pfeil
  Marchenko-Pastur-Law, Sample-Kovarianzmatrix Matlab-Experimente
  und des Wigner'schen Halbkreissatzes (b) Halbkreissatz Pfeil
  (Fortsetzung); Maßkonzentration (Einführung)  

Literatur

Bücher:

Originalarbeiten:

Links mit weiterem Material:

Inhalt

Zufallsmatrizen sind cool (Alan Edelman): Auf der einen Seite tauchen sie in immer mehr Anwendungen auf, so etwa in der multivariaten Statistik, der numerischen linearen Algebra, der Kernphysik, der Statistischen Physik, im Mobilfunk, in der Datenkompression, in der Finanzwirtschaft (aber davon verstehe ich nichts), ja sogar auch innerhalb der Mathematik im Zusammenhang mit der Riemann'schen Vermutung; auf der anderen Seite laufen zu ihrem Verständnis viele tiefliegende mathematische Werkzeuge zusammen, wie etwa Operatortheorie, integrable Systeme, Riemann-Hilbert Probleme, Kombinatorik und nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Liste der Wissenschaftler die sich mit Zufallsmatrizen beschäftigen, vom Nobelpreisträger Eugene Wigner bis zum Fieldsmedaillisten Terry Tao, liest sich streckenweise wie ein Who's Who der Mathematik, Statistik und Physik.

In dieser Vorlesung soll eine ganz kleine Geschmacksprobe dieser Vielfalt geboten werden, wobei wir uns auf einige fundamentale Grenzwertsätze erster und zweiter Ordnung für das Spektrum großer Zufallsmatrizen und die konkrete Berechnung der zugehörigen Grenzverteilungen konzentrieren wollen. Wir diskutieren kombinatorische Techniken, Stieltjes-Transformation, freie Wahrscheinlichkeitstheorie, Orthogonalpolynome, Fredholm'sche Determinanten und Painlevé-Gleichungen sowie einige der hierfür entwickelten numerischen Methoden.

Mein Ziel ist es, Ihr Interesse zu wecken und Sie zu einem Einstieg in die umfangreiche Fachliteratur anzuleiten. Aus der eigenen Erfahrung als Quereinsteiger kann ich nur sagen: Zufallsmatrizen sind nicht nur cool, sie machen auch regelrecht "süchtig".

Lernziele

Vertrautheit mit den Konzepten und Methoden der Theorie großer Zufallsmatrizen, um diese in den Anwendungswissenschaften identifizieren und bekannte Lösungen auffinden zu können. Grundkenntnisse, um sich in der aktuellen Forschungsliteratur zurechtzufinden und diese methodisch einordnen zu können. Verfügbarkeit einiger analytischer und numerischer Werkzeuge, um Zufallsmatrizen in neuen Sachverhalten untersuchen zu können.

Voraussetzungen

Sie sollten Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie (starkes Gesetz der großen Zahl; zentraler Grenzwertsatz; stochastische, fast sichere und schwache Konvergenz von Zufallsvariablen) und Numerik (QR-Zerlegung, Gauß-Christoffel-Quadratur) mitbringen; Einblicke in die Kombinatorik, Funktionentheorie und Funktionalanalysis sind sicher ein Bonus aber nicht zwingend notwendig. Mit der Bereitschaft, das eine oder andere Paper parallel zur Vorlesung zu lesen und einige der Matlab-Experimente selbst durchzuführen, um sich mit den Phänomenen vertraut zu machen, wird die Vorlesung sicherlich gleich noch viel mehr Spaß machen.