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Zufallsmatrizen: Theorie, Numerik und Anwendungen (MA5306)

Prof. Dr. Folkmar Bornemann, Sommersemester 2010, Vorlesung 2h

Mo 12:15 - 13:45, Raum MI 00.07.011

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Termine & Themen & Begleitmaterial

Datum Thema BegleitmaterialSorted ascending
26.4.10 Phänomene II: Histogramme und schwache Konvergenz,  
17.5.10 Wigner'scher Halbkreissatz: Reduktion auf minimale  
  Voraussetzungen; Approximationsresultate  
21.6.10 gemeinsame EW und EV-Verteilung von GOE und GUE  
28.6.10 tridiagonale Modelle für GOE und GUE  
  determinantale (fermionische) Punktprozesse  
  Gap-Probability mit Inklusions-Exklusions-Prinzip  
12.7.10 Fredholm-Determinanten und Numerik  
  Edge- und Bulk-Scaling Limit von GUE  
  und des Wigner'schen Halbkreissatzes (b) Halbkreissatz Pfeil
  Stieltjes-Transformation und Maßkonzentration (b) Halbkreissatz Pfeil
19.4.10 Phänomene I: Circular-, Elliptical-, Semicircular- Handout #1 (Konvergenzbegriffe)
31.5.10 Stieltjes-Transformation; Maßkonzentration Handout #2 (Maßkonzentration)
    Handout #3 (Stieltjes-Transformation)
14.6.10 Wigner'scher Halbkreissatz revisited -- Vereinfachung Handout #4 (Stochastisches Landau-Symbol)
  mit stochastischem Landau-Symbol Handout #5 (Wigner'scher Halbkreissatz)
5.7.10 GUE und Hermite-Polynome, Wigner revisited Handout #6 (Mathematica-Notebook)
  freie Faltung und freier zentraler Grenzwertsatz Lesbarer Übersichtsartikel von R. Speicher Pfeil
  und Marchenko-Pastur-Law, zufällige Polynome Matlab-Experimente
  Bulk- und Edge-Scaling Limit, Montgomery-Odlyzko-Law Matlab-Experimente
20.7.10 Freie Wahrscheinlichkeit: freie Kumulanten Matlab-Experimente
3.5.10 Momentenmethode: Beweis des zentralen Grenzwertsatzes Terry Taos Blog: (a) CLT Pfeil
7.6.10 Beweis des Wigner'schen Halbkreissatzes mit Terry Taos Blog: (a) Maßkonzentration Pfeil

Literatur

Bücher:

Originalarbeiten:

Links mit weiterem Material:

Inhalt

Zufallsmatrizen sind cool (Alan Edelman): Auf der einen Seite tauchen sie in immer mehr Anwendungen auf, so etwa in der multivariaten Statistik, der numerischen linearen Algebra, der Kernphysik, der Statistischen Physik, im Mobilfunk, in der Datenkompression, in der Finanzwirtschaft (aber davon verstehe ich nichts), ja sogar auch innerhalb der Mathematik im Zusammenhang mit der Riemann'schen Vermutung; auf der anderen Seite laufen zu ihrem Verständnis viele tiefliegende mathematische Werkzeuge zusammen, wie etwa Operatortheorie, integrable Systeme, Riemann-Hilbert Probleme, Kombinatorik und nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Liste der Wissenschaftler die sich mit Zufallsmatrizen beschäftigen, vom Nobelpreisträger Eugene Wigner bis zum Fieldsmedaillisten Terry Tao, liest sich streckenweise wie ein Who's Who der Mathematik, Statistik und Physik.

In dieser Vorlesung soll eine ganz kleine Geschmacksprobe dieser Vielfalt geboten werden, wobei wir uns auf einige fundamentale Grenzwertsätze erster und zweiter Ordnung für das Spektrum großer Zufallsmatrizen und die konkrete Berechnung der zugehörigen Grenzverteilungen konzentrieren wollen. Wir diskutieren kombinatorische Techniken, Stieltjes-Transformation, freie Wahrscheinlichkeitstheorie, Orthogonalpolynome, Fredholm'sche Determinanten und Painlevé-Gleichungen sowie einige der hierfür entwickelten numerischen Methoden.

Mein Ziel ist es, Ihr Interesse zu wecken und Sie zu einem Einstieg in die umfangreiche Fachliteratur anzuleiten. Aus der eigenen Erfahrung als Quereinsteiger kann ich nur sagen: Zufallsmatrizen sind nicht nur cool, sie machen auch regelrecht "süchtig".

Lernziele

Vertrautheit mit den Konzepten und Methoden der Theorie großer Zufallsmatrizen, um diese in den Anwendungswissenschaften identifizieren und bekannte Lösungen auffinden zu können. Grundkenntnisse, um sich in der aktuellen Forschungsliteratur zurechtzufinden und diese methodisch einordnen zu können. Verfügbarkeit einiger analytischer und numerischer Werkzeuge, um Zufallsmatrizen in neuen Sachverhalten untersuchen zu können.

Voraussetzungen

Sie sollten Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie (starkes Gesetz der großen Zahl; zentraler Grenzwertsatz; stochastische, fast sichere und schwache Konvergenz von Zufallsvariablen) und Numerik (QR-Zerlegung, Gauß-Christoffel-Quadratur) mitbringen; Einblicke in die Kombinatorik, Funktionentheorie und Funktionalanalysis sind sicher ein Bonus aber nicht zwingend notwendig. Mit der Bereitschaft, das eine oder andere Paper parallel zur Vorlesung zu lesen und einige der Matlab-Experimente selbst durchzuführen, um sich mit den Phänomenen vertraut zu machen, wird die Vorlesung sicherlich gleich noch viel mehr Spaß machen.