Zufallsmatrizen: Theorie, Numerik und Anwendungen (MA5306)

Prof. Dr. Folkmar Bornemann, Sommersemester 2010, Vorlesung 2h

Mo 12:15 - 13:45, Raum MI 00.07.011

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Termine & Themen & Begleitmaterial

Datum	Thema	Begleitmaterial
		Handout #3 (Stieltjes-Transformation)
7.6.10	Beweis des Wigner'schen Halbkreissatzes mit	Terry Taos Blog: (a) Maßkonzentration
	Bulk- und Edge-Scaling Limit, Montgomery-Odlyzko-Law	Matlab-Experimente
	determinantale (fermionische) Punktprozesse
	Edge- und Bulk-Scaling Limit von GUE
12.7.10	Fredholm-Determinanten und Numerik
	freie Faltung und freier zentraler Grenzwertsatz	Lesbarer Übersichtsartikel von R. Speicher
20.7.10	Freie Wahrscheinlichkeit: freie Kumulanten	Matlab-Experimente
	Gap-Probability mit Inklusions-Exklusions-Prinzip
21.6.10	gemeinsame EW und EV-Verteilung von GOE und GUE
5.7.10	GUE und Hermite-Polynome, Wigner revisited	Handout #6 (Mathematica-Notebook)
	mit stochastischem Landau-Symbol	Handout #5 (Wigner'scher Halbkreissatz)
3.5.10	Momentenmethode: Beweis des zentralen Grenzwertsatzes	Terry Taos Blog: (a) CLT
19.4.10	Phänomene I: Circular-, Elliptical-, Semicircular-	Handout #1 (Konvergenzbegriffe)
26.4.10	Phänomene II: Histogramme und schwache Konvergenz,
	Stieltjes-Transformation und Maßkonzentration	(b) Halbkreissatz
31.5.10	Stieltjes-Transformation; Maßkonzentration	Handout #2 (Maßkonzentration)
28.6.10	tridiagonale Modelle für GOE und GUE
	und des Wigner'schen Halbkreissatzes	(b) Halbkreissatz
	und Marchenko-Pastur-Law, zufällige Polynome	Matlab-Experimente
	Voraussetzungen; Approximationsresultate
14.6.10	Wigner'scher Halbkreissatz revisited -- Vereinfachung	Handout #4 (Stochastisches Landau-Symbol)
17.5.10	Wigner'scher Halbkreissatz: Reduktion auf minimale

Literatur

Bücher:

• [B1] Greg Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices , Cambridge University Press 2010
• [B2] Zhidong Bai, Jack Silverstein: Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices, 2. Auflage, Springer-Verlag 2010
• [B3] Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Cambridge University Press 2006
• [B4] Percy Deift: Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann-Hilbert Approach, Courant Lecture Notes 3, Amer. Math. Soc. 1999
• [B5] Percy Deift, Dimitri Gioev: Random Matrix Theory: Invariant Ensembles and Universality, Courant Lecture Notes 18, Amer. Math. Soc. 2009
• [B6] Alice Guionnet: Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics , Springer-Verlag 2009
• [B7] Madan Lal Mehta: Random Matices, 3. Auflage, Elsevier Academic Press 2004

Originalarbeiten:

• [P1] Folkmar Bornemann: On the Numerical Evaluation of Distributions in Random Matrix Theory. (to appear in Markov Process. Related Fields). E-print arxiv.org/abs/0904.1581 (2009), 51pp.
• [P2] Alan Edelman, Raj Rao: Random matrix theory , Acta Numer. 14 (2005), 233--297
• [P3] Raj Rao, Alan Edelman: The polynomial method for random matrices , Found. Comput. Math. 8 (2008), 649--702
• [P4] Antonia Tulino, Sergio Verdú: Random matrix theory and wireless communication , Found. Trends Comm. Information Theory 1 (2004), 1-182

Links mit weiterem Material:

• [L1] Terry Taos Vorlesung an der UCLA 
• [L2] Alan Edelmans Vorlesung am MIT 

Inhalt

Zufallsmatrizen sind cool (Alan Edelman): Auf der einen Seite tauchen sie in immer mehr Anwendungen auf, so etwa in der multivariaten Statistik, der numerischen linearen Algebra, der Kernphysik, der Statistischen Physik, im Mobilfunk, in der Datenkompression, in der Finanzwirtschaft (aber davon verstehe ich nichts), ja sogar auch innerhalb der Mathematik im Zusammenhang mit der Riemann'schen Vermutung; auf der anderen Seite laufen zu ihrem Verständnis viele tiefliegende mathematische Werkzeuge zusammen, wie etwa Operatortheorie, integrable Systeme, Riemann-Hilbert Probleme, Kombinatorik und nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Liste der Wissenschaftler die sich mit Zufallsmatrizen beschäftigen, vom Nobelpreisträger Eugene Wigner bis zum Fieldsmedaillisten Terry Tao, liest sich streckenweise wie ein Who's Who der Mathematik, Statistik und Physik.

In dieser Vorlesung soll eine ganz kleine Geschmacksprobe dieser Vielfalt geboten werden, wobei wir uns auf einige fundamentale Grenzwertsätze erster und zweiter Ordnung für das Spektrum großer Zufallsmatrizen und die konkrete Berechnung der zugehörigen Grenzverteilungen konzentrieren wollen. Wir diskutieren kombinatorische Techniken, Stieltjes-Transformation, freie Wahrscheinlichkeitstheorie, Orthogonalpolynome, Fredholm'sche Determinanten und Painlevé-Gleichungen sowie einige der hierfür entwickelten numerischen Methoden.

Mein Ziel ist es, Ihr Interesse zu wecken und Sie zu einem Einstieg in die umfangreiche Fachliteratur anzuleiten. Aus der eigenen Erfahrung als Quereinsteiger kann ich nur sagen: Zufallsmatrizen sind nicht nur cool, sie machen auch regelrecht "süchtig".

Lernziele

Vertrautheit mit den Konzepten und Methoden der Theorie großer Zufallsmatrizen, um diese in den Anwendungswissenschaften identifizieren und bekannte Lösungen auffinden zu können. Grundkenntnisse, um sich in der aktuellen Forschungsliteratur zurechtzufinden und diese methodisch einordnen zu können. Verfügbarkeit einiger analytischer und numerischer Werkzeuge, um Zufallsmatrizen in neuen Sachverhalten untersuchen zu können.

Voraussetzungen

Sie sollten Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie (starkes Gesetz der großen Zahl; zentraler Grenzwertsatz; stochastische, fast sichere und schwache Konvergenz von Zufallsvariablen) und Numerik (QR-Zerlegung, Gauß-Christoffel-Quadratur) mitbringen; Einblicke in die Kombinatorik, Funktionentheorie und Funktionalanalysis sind sicher ein Bonus aber nicht zwingend notwendig. Mit der Bereitschaft, das eine oder andere Paper parallel zur Vorlesung zu lesen und einige der Matlab-Experimente selbst durchzuführen, um sich mit den Phänomenen vertraut zu machen, wird die Vorlesung sicherlich gleich noch viel mehr Spaß machen.