BannerHauptseite TUMHauptseite LehrstuhlMathematik SchriftzugHauptseite LehrstuhlHauptseite Fakultät

Proseminar: Meisterkurs »Ungleichungen«

Dozent: Folkmar Bornemann, Sommersemester 2012

Termine

Di, 14:15-15:45, Raum MI 02.08.011

Datum Thema mit Variationen
17.4. Cauchy-Schwarz
24.4. AM-GM
15.5. Carleman
05.6. Ordnung
12.6. Konvexität
19.6. Hölder I
26.6. Hölder II
03.7. Symmetrie
17.7. Majorisierung

Inhalt

Ungleichungen ermöglichen Kontrolle und offenbaren Einschränkungen; sie sind wichtiges Werkzeug und fundamentaler Erkenntnisgegenstand zugleich. Harald Bohr (1887-1951) meinte einmal, dass Analytiker die Hälfte ihrer Zeit damit verbrächten, die Literatur nach Ungleichungen zu durchforsten, die sie zwar dringend benötigten, aber nicht selbst beweisen könnten. Numeriker, Stochastiker, Geometer und andere Spezialisten machen häufig ähnliche Erfahrungen.

Viele wichtige Ungleichungen (oft mit dem Namen berühmter Mathematiker verknüpft) können in ihrer Aussage zwar ohne umfangreiche Vorkenntnisse verstanden werden, ihr Beweis erfordert aber einen Geistesblitz oder das tiefe Verständnis einer mathematischen Struktur. Wenn wir solche Beweise nicht einfach nur abhaken, sondern kunstgerecht „sezieren”, lernen wir ungeheuer viel über die Anatomie mathematischen Entdeckens.

In diesem Meisterkurs sollen grundlegende mathematische Problemlösungsstrategien anhand interessanter (elementarer) Ungleichungen erprobt werden. Darüberhinaus werden wir Instrumente wie Konvexität, Symmetrie, Ordnung und Majorisierung in Aktion sehen.

Ablauf

Für jede Sitzung gibt es ein dreiteiliges, angeleitetes Arbeitspaket, bestehend aus (1) einer Übung zur letzten Sitzung, (2) einem neuen Problem und (3) einem Lektüreteil. Nach Diskussion von Übung und Problem wird der Lektüreteil als „Beweis-Sektion” von zwei ausgelosten Teilnehmern (je 20 Minuten) an der Tafel präsentiert. Wünschenswert sind viele Fragen und Tafeldiskussionen aller Teilnehmer.

Beispiel: Eine Variation zum Thema Cauchy-Schwarz

Für das Volumen %$V$% einer messbaren Menge im Raum und die Flächeninhalte %$A_1,A_2,A_3$% ihrer Projektionen auf die drei Koordinatenebenen gilt %$V^2\leq A_1 A_2 A_3$%. Beweise und verallgemeinere.

Voraussetzungen

Literatur