Proseminar: Meisterkurs »Ungleichungen«
Dozent:
Folkmar Bornemann,
Sommersemester 2012
Termine
Di, 14:15-15:45, Raum MI 02.08.011
Dieser Plan ist vorläufig und wird laufend angepasst.
Inhalt
Ungleichungen ermöglichen Kontrolle und offenbaren Einschränkungen; sie sind wichtiges Werkzeug
und fundamentaler Erkenntnisgegenstand zugleich. Harald Bohr (1887-1951) meinte einmal, dass Analytiker die Hälfte
ihrer Zeit damit verbrächten, die Literatur nach Ungleichungen zu durchforsten, die sie zwar dringend
benötigten, aber nicht selbst beweisen könnten. Numeriker, Stochastiker, Geometer und andere Spezialisten machen
häufig ähnliche Erfahrungen.
Viele wichtige Ungleichungen (oft mit dem Namen berühmter Mathematiker verknüpft) können in ihrer
Aussage zwar ohne umfangreiche Vorkenntnisse verstanden werden, ihr Beweis erfordert aber einen
Geistesblitz oder das tiefe Verständnis einer mathematischen Struktur. Wenn wir solche Beweise nicht
einfach nur abhaken, sondern kunstgerecht „sezieren”, lernen wir ungeheuer viel über die Anatomie
mathematischen Entdeckens.
In diesem Meisterkurs sollen grundlegende mathematische Problemlösungsstrategien anhand interessanter
(elementarer) Ungleichungen erprobt werden. Darüberhinaus werden wir Instrumente wie Konvexität,
Symmetrie, Ordnung und Majorisierung in Aktion sehen.
Ablauf
Für jede Sitzung gibt es ein dreiteiliges, angeleitetes Arbeitspaket, bestehend aus (1) einer Übung zur letzten Sitzung,
(2) einem neuen Problem und (3) einem Lektüreteil. Nach Diskussion von Übung und Problem wird der
Lektüreteil als „Beweis-Sektion” von zwei ausgelosten Teilnehmern (je 20 Minuten) an der Tafel
präsentiert. Wünschenswert sind viele Fragen und Tafeldiskussionen aller Teilnehmer.
Beispiel: Eine Variation zum Thema Cauchy-Schwarz
Für das Volumen
einer messbaren Menge im Raum und die Flächeninhalte
ihrer Projektionen auf die drei Koordinatenebenen gilt
.
Beweise und verallgemeinere.
Voraussetzungen
- sichere Kenntnisse in Linearer Algebra und Analysis
- Spaß am Führen von Beweisen
- Freude an mathematischen Geistesblitzen
- Interesse an Problemlösungsstrategien
- wissenschaftliche Neugierde
- Bereitschaft zur konsequenten Vorbereitung und aktiven Teilnahme
Literatur
- J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Cambridge University Press, 2004.
- D.J.H. Garling, Inequalities: A Journey into Linear Analysis, Cambridge University Press, 2007.
