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Herbstuniversität 2006

Express zum Mars - Mathematik in der Raumfahrt

Wie Sie gesehen haben, benötigen Sie für einen Flug zum Mars im Wesentlichen nur zwei Dinge:
  1. eine Bewegungsgleichung (Differentialgleichung), die die wirkenden Gravitationskräfte mit den Beschleunigungen der beteiligten Körper in Beziehung setzt (Newton'sche Gesetze) und
  2. ein (numerisches) Verfahren, das zu einer gegebenen Anfangsbedingung eine Lösungskurve der Bewegungsgleichung (approximativ) berechnet.

Im folgenden werden wir schrittweise eine Flugbahn von der Erde zum Mars berechnen. Wir verwenden dazu das Programm "Matlab". Sie können Matlab starten, indem Sie im Terminalfenster

/usr/local/applic/bin/matlab&

eingeben:

Es öffnet sich die Benutzeroberfläche von Matlab:

Die Umlaufbahnen von Erde und Mars

Wir machen uns als Erstes mit den grafischen Möglichkeiten vertraut. Geben Sie im Matlab "Command Window" folgendes ein:
t=0:0.1:2*pi;
Dieser Befehl erzeugt einen Vektor t mit 63 Komponenten von 0 bis 6,2 im Abstand 0,1. Sie können sich davon überzeugen, indem Sie einfach
t
eingeben. Berechnen wir jetzt komponentenweise den Sinus und den Cosinus von t:
x1=cos(t);
x2=sin(t);
Schließlich erzeugen wir eine Grafik der Kreislinie, indem wir plot(x1,x2) eingeben:

Erzeugen Sie eine zweite Kreislinie, so dass die Radien der beiden Kreise in demselben Verhältnis stehen wie die (ungefähren) Radien der Umlaufbahnen von Erde und Mars (Erde: 150 106 km, Mars: 228 106 km). Tipps: Durch den Befehl hold on verhindern Sie, dass die Grafik vor jedem neu eingegebenen plot -Befehl gelöscht wird. Mit dem Befehl clf können Sie die Grafik löschen. Mit der "Pfeil nach oben"-Taste können Sie durch die zuvor eingegebenen Befehle blättern (und ggf. erneut ausführen).

Die Bewegungsgleichung

Öffnen Sie den Editor, um die Datei f.m zu editieren, indem Sie eingeben

edit f.m

Geben Sie im Editor die folgende Funktion ein, die das Vektorfeld f unserer Bewegungsgleichung implementiert (interpretieren Sie (x(1),x(2)) als den Ort und (x(3),x(4)) als die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs):
function y = f(x)

r = sqrt(x(1)^2 + x(2)^2)^3;

y(1) = x(3);
y(2) = x(4);
y(3) = -x(1)/r;
y(4) = -x(2)/r;
(Denken Sie daran, diese Datei im Editor zu speichern.)

Ein kurzer Flug

Wir wählen jetzt zunächst den folgenden Anfangswert für unseren Flug:
x=[1,0,0,1];
Dabei entsprechen die beiden ersten Koordinaten dem Ort (1,0) in der Ebene und die Einträge an der 3. und 4. Stelle dem anfänglichen Geschwindigkeitsvektor (d.h. das Raumfahrzeug fliegt anfänglich senkrecht nach oben).

Zeichnen Sie die Ortskoordinaten dieses Anfangswertes in ihre Grafik ein:

plot(x(1),x(2),'*');

Lassen Sie das Raumfahrzeug '*' jetzt für 0.1 Zeiteinheiten (2π entspricht einem Jahr) fliegen:
h=0.1;
x=x + h*f(x);
plot(x(1),x(2),'*');
(Das ist ein Schritt des Euler-Verfahrens zur Lösung des Anfangswertproblems.)

Lassen Sie das Raumfahrzeug noch ein bißchen länger fliegen - abkürzend können Sie schreiben
for i=1:50
  x=x + h*f(x);
  plot(x(1),x(2),'*');
end

Wiederholen Sie diesen Flug (startend bei x=[1,0,0,1]) mit halbierter Zeiteinheit ("Schrittweite") und der doppelten Anzahl an Schritten. Was fällt auf?

Verwenden Sie statt des Euler-Verfahrens das Verfahren von Runge,
k1 = x + h/2*f(x);
x = x + h*f(k1);
zur Berechnung der Flugbahn. Benutzen Sie dabei zunächst die gleichen Parameter (Zeiteinheit, Anzahl an Schritten) wie beim Euler-Verfahren. Was fällt auf?

Flug zum Mars

Starten Sie einen neuen Flug (mit dem Verfahren von Runge) mit leicht erhöhter Startgeschwindigkeit (aber immer noch senkrecht nach oben). Ab welcher Geschwindigkeit kreuzt unsere Flugbahn den Marsorbit? Sie können die Berechnung für größere Geschwindigkeiten auf folgende Weise stoppen, wenn Sie den Marsorbit erreichen:
while sqrt(x(1)^2 + x(2)^2) < 228/150
  ...
end

Wenn wir zum Mars (und nicht an ihm vorbei) fliegen wollen, müssen wir den Flug abbremsen, wenn wir den Orbit des Mars erreichen. Je größer dabei der Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten von Raumfahrzeug und Mars ist, desto mehr Treibstoff wird für dieses Bremsmanöver benötigt. Wir möchten möglichst wenig Treibstoff verbrauchen.

Die Umlaufzeit des Mars beträgt 687 Tage. Bestimmen Sie den Faktor, um den die Geschwindigkeit des Mars kleiner ist als die der Erde. Bestimmen Sie dann den Geschwindigkeitsvektor des Mars in dem Punkt, in dem ihr Flug den Marsorbit kreuzt - und schließlich die Differenz "Delta V" zwischen Mars- und Raumfahrzeug-Geschwindigkeitsvektor. Wie gesagt, die Länge dieses Vektors ist ein Maß für den Treibstoffverbrauch beim Bremsen.

Für welche Startgeschwindigkeit an der Erde wird das Delta V am kleinsten? Welches Delta V müssen Sie dabei an der Erde aufbringen, um den Erdorbit zu verlassen? Wie sieht also die Flugbahn mit dem geringsten gesamten Delta V aus?

Wenn Sie am Mars ankommen, sollten Sie in etwa folgendes Bild vor Augen haben: